Методы АВС анализа номенклатурных групп

         В логистике для контроля и управления запасами широко используется метод выделения номенклатурных групп - метод АВС. В его основе лежит «закон Парето».

         Закон Парето: «внутри определенной группы или множества отдельные малые части обнаруживают намного большую значимость, чем это соответствует их относительному удельному весу в этой группе». Применительно к запасам на складах правило Парето выражается соотношением: на 20% общего количества номенклатуры приходится 80% стоимости хранимых запасов.

         Метод АВС - «способ формирования и контроля за состоянием запасов, заключающийся в разбиении номенклатуры N реализуемых товарно-материальных ценностей на три подмножества А, В и С на основании некоторого формального алгоритма».

         Рассмотрим пример формирования групп А, В и С. В табл. 1 приведены данные о 20 позициях продукции, находящейся на складе. Допустим, что для разбиения на группы выбран стоимостной показатель

,

где n_i  - количество единиц продукции, ед.;

      Ц_i -  стоимость единицы продукции, руб/ед.

После расчета С_i все позиции номенклатуры располагаются в порядке убывания стоимостных показателей. Затем в зависимости от выбранного варианта метода АВС, производится деление на группы.

Позиции номенклатуры, отнесенные к группе А - немногочисленные, но на них приходится преобладающая часть денежных средств, вложенных в запасы. Это особая группа с точки зрения определения величины заказа по каждой позиции номенклатуры, контроля текущего запаса, затрат на доставку и хранение.

Таблица 1

Определение номенклатурных групп АВС

         К группе В относятся позиции номенклатуры, занимающие среднее положение в формировании запасов склада. По сравнению с позициями номенклатуры А, они требуют меньшего внимания, за ними производится обычный контроль текущего и страхового запасов на складе и своевременность заказа.

         Группа С включает позиции номенклатуры, составляющие большую часть запасов: на них приходится незначительная часть финансовых средств, вложенных в запасы. Как правило, за позициями группы С не ведется постоянный учет, а проверка наличия осуществляется периодически (один раз в месяц, квартал или полугодие); расчеты оптимальной величины заказа и периода заказа не выполняется.

         В табл. 2. обобщены материалы из различных источников, отражающих процентные соотношения групп А, В и С в общей совокупности. Так, например, первая строка таблицы констатирует, что в группу А входят позиции номенклатуры, составляющие 80% от стоимости всех запасов и только 20% от общего количества позиций; в группу В включается, соответственно, 15% позиций от стоимости всех запасов и 30% наименований. Очевидно, что на группу С остается 5% по стоимости и 50% всех позиций номенклатуры.

         Анализ приведенных в табл. 2. данных позволяет сделать следующие выводы:

• в настоящее время нет общепринятого подхода определения границ номенклатурных групп, т.е. координат точек А (x_A, y_A) и B (x_A+x_B, y_A+y_B);
• наблюдается широкий диапазон значений координат для всех номенклатурных групп. Например, для группы А разброс по номенклатуре равен 10% (от 10 до 20%), а по показателю деления на группы (ось y) - 30% (соответственно от 50 до 80%). Аналогичная картина наблюдается для групп В и С, что затрудняет практическую реализацию метода АВС;
• диапазон рекомендуемых границ согласно групп APICS значительно отличается от данных других источников (кроме группы А).

Таким образом, важнейшей задачей совершенствования метода АВС является систематизация различных подходов, проведение сравнительных расчетов и сопоставление их результатов с целью выбора наилучшего варианта.

Таблица 2

Процентные соотношения групп А, В, С

         Существующие методы АВС-анализа могут быть объеденыны в три группы: эмпирический, дифференциальный и аналитический. Несмотря на принципиальные различия у всех методов есть общая часть, которая включает «формирование базы данных» и «выбор или расчет показателей для группирования». Эта важная, но пока мало изученная область АВС-анализа. Дело в том, что даже для простого примера исходных данных, приведенного в табл. 1 могут быть выбраны два показателя для разбиения на группы: один из них - стоимостной С_i, для которого и выполнен пример расчета; другим показателем является n_i - количество единиц продукции,  косвенно характеризующий оборот и выполнение соответствующих складских и транспортных операций. Помимо С_{i и} n_i  в качества самостоятельного показателя может быть выбрана также стоимость единицы продукции Ц_i.

         Эмпирический метод базируется на гипотезе, что деление на группы можно выполнить по аналогии и поэтому границы групп выбираются по результатам ранее проведенных исследований (см. табл. 2). Согласно рис. 1 использование эмпирического метода предусматривает выполнение следующих операций.

         Полученные значения показателей C_i ранжируются - располагаются в убывающей последовательности

         Затем производится присвоение новых индексов  а=1, b=2,..., m=N,

где N - общее количество наименований деталей) номенклатура, т.е.

         Для удобства расчетов вводятся относительные величины рассматриваемых стоимостных показателей q_i (в процентах), тем самым производим нормирование показателей

где .

         Величины q_i суммируются нарастающим итогом

                                    (0.1)

         Интегральная (кумулятивная) зависимость Q_j представляется в табличной форме в виде пар значений (Q_j; i) и затем может быть использована для подбора аналитической зависимости Q_j=f(a_p, i) или в виде графика (ось ординат Y - значения Q_j, ось общие - значения i).

         По-существу, эмпирический метод включает несколько вариантов. первый наиболее распространенный вариант предусматривает выбор координат Y_A и Y_A+B, например, Y_A=80% и Y_A+B=95 %.

         Затем, с помощью интегральной зависимости Q_j, формула (0.1), находятся значения X_A^* и X_A+B^* , позволяющие разделить позиции номенклатуры N на группы А и В.

         Второй вариант предусматривает решение обратной задачи: по заданным (выбранным) значениям координат X_A и X_A+B определяются границы Y_A^* и Y_A+B^* и сравниваются с допустимыми значениями. В качестве эталонных значений могут быть выбраны X_A = 20 %  и X_A+B=50 %.

         Поскольку первый и второй варианты дают как правило разные величины координат Y и X и соответственно разные оценки групп А,В и С, то возможно использование третьего варианта, представляющего собой компромисс указанных двух вариантов.

         Пример 1. Рассмотрим применение эмпирического метода на основе данных табл. 1. Выберем первый вариант и зададимся значениями для точки А Y_А=80 % («правило Парето») и точки В Y_A+B = 95%. В табл. 1. нет значения Q_j, соответствующего Y_А=80 %, поэтому выбирает Q_j=4=78% и Q_j=5=82%. Соответственно группу А составляет 4 позиции номенклатуры (X_A = 20 %) или 5 позиций (X_A = 25 %). Аналогично для определения В при Y_A+B = 95% находим Q_j=10=94,5%, т.е. X_A+B=50 % и Q_j=11=95,5% (X_A+B=55 %).

Таким образом, из полученных решений можно выбрать: группа А (78%, 4 позиции), группа В (26,5%, 6 позиций), группа С (5,5% позиций).

         Дифференциальный метод, согласно рис. 1 может быть использован как для ранжированных показателей C_i, так и для исходной выборки. В основу метода положены соотношения, опирающиеся на средние значения показателя

где N - объем выборки.

         В общем случае граничные значения С_А и С_В для группирования рассчитываются с помощью коэффициентов K_i, величины которых приведены в табл. 3. Например, к группе А должны быть отнесены позиции номенклатуры, показатели которых , а к группе В соответственно

                                             .                                                       

аналогично для группы С:

С₁<K₂C                                                      .                                                       

Пример 2. Рассмотрим последовательность выбора номенклатурных групп дифференциальным методом при К₁=6 и К₂=0,5 по данным, приведенным  в табл. 1.

         Поскольку среднее значение показателя , то в группу А войдут позиции номенклатуры для которых величины С_i больше или равна  Такой показатель только один, следовательно, величина Y_А=30 % и X_A = 5 %. К группе В должны быть отнесены позиции номенклатуры, для которых С_j<600 руб. и  Воспользовавшись таблицей, находим Y_A+B = 86%, X_A+B=35 %, т.е. группа В составляет 56 % и в нее вошли 30% номенклатуры.

Таблица 3

Величины коэффициентов для определения номенклатурных групп

(дифференциальный метод)

         Несомненное достоинство дифференциального метода - простота: во-первых, нет необходимости ранжировать показатели С_i и строить интегральную (накопленную) зависимость. Недостаток дифференциального метода - неопределенность выбора коэффициентов К₁ и К₂, приводящая в некоторых случаях к ошибочным результатам (в частности невозможность выделения группы А).

Аналитический метод. Особенность данного метода состоит в том, что деление на группы А,В и С производится на основе определенного правила (критерия) и зависит от характера интегральной кривой Q_j. В настоящее время можно выделить два основных варианта (см. рис. 1) - графический и аналитический.

         При графическом способе (рис. 2.) на оси ординат наносятся значения Q_j, на оси абсцисс - индексы 1,2,..., N, соответствующие присвоенным номерам позиций номенклатуры. Тоски с координатами (Q_{j ;}x) на графике соединяются плавной кривой OO^'D, которая  в общем случае является выпуклой. Затем проводится касательная LM к интегральной кривой OO^'D, параллельно прямой OD. Прямая OD соответствует равномерному распределению показателя для всей номенклатуры

         Абсцисса точки касания O^', округленная до ближайшего целого значения отделяет от всей номенклатуры первую группу N_A (группа А), в которую входят позиции номенклатуры с показателями .

         Таким образом, к группе А относятся все позиции номенклатуры, для которых значение показателя q_i больше или равно среднему значению показателя для всей номенклатуры N.

         Соответственно ордината точки (O^'q_∑A) указывает долю деталей группы А в процентах от величины в общем показателе ^'q_∑i.

         Продолжим деление на группы оставшейся номенклатуры деталей, воспользовавшись вышеописанным приемом. Соединим точку O^' с точкой D и проведем касательную к кривой O^' O^'' D, параллельную прямой O^'D. Абсцисса точки касания O^'' делит оставшуюся номенклатуру на группу В и группу С.

         Для оставшейся номенклатуры величина осредненного показателя составит

где N_A -  число позиций, вошедших в группу А.

         Таким образом, в группу В попадают позиции номенклатуры с показателями q_ji , подчиняющимися неравенству

         Следует указать, что если кривая OO^'O^''D невыпуклая, то невозможно выделить ни одну из групп деталей; если кривая O^'O^''D невыпуклая, то невозможно выделить группы В и С.

         Сопоставление графического и дифференциального подходов показывает их сходство при определении координат точки А (при k₁=1), и расхождении, когда координата для определения группы В не строго фиксирована (k₁=1), а зависит от координаты точки А и характеризуется интегральной кривой.

         Пример 3. Рассмотрим вариант АВС анализа с использованием графического способа, при котором определение границы А и В производится на основе соотношений (5.7) и (5.8). На основе данных табл. 5.1 выделим группу А по правилу

         При K₁=1 и  в группу А войдут М=4 позиций номенклатуры, при этом Y_A=78,5 %, X_A=20%.

         Для определения нижней границы группы В воспользуемся формулой

         Подставив значения, получим

         С учетом верхней (K₁ =100 руб.) и нижней (K₂ =27,5 руб.) границ группы В находим: N_B=6 ед., Y_A+B=94,5%, X_A+B=50 %.

         Параметры группы С следующие: Y_C=5,5 %, X_C=50%, т.е. 10 позиций номенклатуры.

         Рассмотрим последовательность этапов определения номенклатурных групп аналитическим способом.

         1. Позиции номенклатуры N нормируются в интервале 0-1 и ввести аргумент X.

         2. Выбираются аналитическая зависимость y=f(x,a_p) для аппроксимации интегральной кривой Q_j.

         3. Определяются коэффициенты a_p на основе систематизированных статистических данных с использованием метода наименьших квадратов (МНК) или численных методов. При использовании МНК для нелинейных зависимостей типа ,  и других выполняются необходимые преобразования для приведения к «нормальному» виду. Однако, это не всегда удается осуществить. Для аппроксимации интегральной зависимости может быть использована следующая формула:

         На основе МНК Paul Bender (1981 г.) получим уравнение для определения коэффициента a

         Очевидно, что для определения а необходимо воспользоваться численными методами.

         4. При определении коэффициентов а_р необходимо соблюдать начальные условия: первое - при x=0, y=0; второе при x=1, y=1. Это позволяет сократить число «нормальных» уравнений при использовании МНК. Например, для зависимости

учет начальных условий приводит к соотношению a₁=1-a₂.

         5. В качестве критерия деления на группы выберем условия, что в группу А попадут все позиции номенклатуры, показатели которых С_i,больше или равны среднему значению показателя для всей выборки С. Согласно теореме Лагранжа на выпуклой кривой f(x) существует одна точка А, касательная в которой параллельна хорде, в нашем случае линии, соединяющей начало координат (0,0) и точку с координатами (1,1). Для определения абсциссы точки А воспользуемся формулой 3.

                                     (3)

где f^'(x_A) - производная функции f(x) в точке касания А;

x_а - искомая абсцисса точки касания;

f(x_а), f(x_в) - значения функции в начальной x_А и конечной x_В в точках.

         С учетом начальных условий уравнение (3) запишется в виде

Решая уравнения (4), находим x_А, затем координату y_A=f(x_A) и количество позиций номенклатуры, относящихся к группе А

         6. Для определения точки В, введем новую систему координат, принимая за начало отсчета абсциссу X_A и ординату Y(X_A). С учетом, что конечная точка имеет координаты X_B=1, f(X_B)=1, уравнение (3) записывается в виде

         Дальнейшие вычисления аналогичны пункту 5: находим X_A+B, затем Y_A+B и N_A+B=(X_A+B - X_A)N.

         Рассмотрим применение аналогичного метода определения номенклатурных групп А, В и С.

         Пример 4. Допустим, что для расчетов выбрана функция (2) вида

         Анализ показал, что функция (7) может быть использована для аппроксимации Q_j при значениях . Если , то функция y(x) достигнет максимума в интервале 0-1, что противоречит характеру интегральной зависимости Q_j.

         Примем , тогда .

         Для расчета абсциссы точки касания воспользуемся уравнением (4). Поскольку

то после преобразований, находим

         При подстановке значений a₁ и a₂ получим

         Второе значение x_A=1,707отбрасываем.

         При подстановке x_A=0,293 в формулу (5.17) находим

         Таким образом, координаты x_A и y_A определяют границы группы А.

         Определим координаты точки В. При подстановке f^'(x) формула (8) и значений x_A и y_A в правую часть формулы (3) получим

Обозначим

Тогда, после преобразований получим формулу для определения абсциссы x_A+B

При                                          

Находим координаты точки В: x_A+B=0,618 и y_A+B=0,924. Соответственно, параметры группы В: по номенклатуре 32,5%, по основному показателю - 21,7%.

Пример 4. Рассмотрим аналитический способ определения групп А,В,С на основе данных табл. 1. выберем аппроксимирующую функцию в виде

Для определения коэффициента а воспользуемся формулой, основанной на МНК,

         При постановке в формулу (5.22) результатов вспомогательных расчетов, табл. 4, находим

Примем а=0,2.

         Расчетные значения функции y_p=x_i^0,2 приведены в табл.  Расхождение исходных данных и результатов расчета объясняется отчасти линеаризацией, а также простотой выбранной для аппроксимации исходных данных функции y=x^a.

         Подставив значение производной

                                                                                               (13)

в формулу (14), после преобразований находим соответственно координату

и координату

Затем, по формуле (15) определим

                                                                           (15)

         Тогда, для определения координаты x_A+B воспользуемся формулой

Соответственно, координата

         Таким образом, аналитический способ позволил определить параметры групп А(66,4%, 12,6%), В(85%, 44%) и С(15%, 56%).

Таблица 4

Расчет вспомогательных величин для определения параметров модели

Рис. 3.  Аналитический способ определения номенклатурных групп

 («многоугольник»)

Таблица 5.

Результаты расчета функции f(A,B)

         Пример 5. Суть аналитического способа разбиения на группы А,В,С, сводится к следующему: в интегральную кумулятивную кривую Q_j вписывается часть многоугольника таким образом, чтобы разница между площадью под кумулятивной кривой и площадью многоугольника была минимальной (рис.3). Поскольку позиционирование рассматриваемой части многоугольника определяется координатами x_A и x_A+B, то критериальное уравнение записывается в виде

Ограничение одно: x_A<x_A+B.        

         В табл. 6.   приведены результаты расчетов F(x_A,x_A+B). При различных значениях x_A и x_A+B. Из табл.  видно, что максимального значения F(x_A,x_A+B)=0,806 достигает при x_A=0,05 и x_A+B=0,3, т.е. группа А составляет 5% номенклатуры, группа В - 25%. Соответствующие значения интегральных показателей: y_A=0,05^0,2=0,549, т.е.54,9%; y_A+B=78,7%.

         Выполняем аналогичные расчеты для зависимости  при a₁=2 и a₁=-1. Критериальные уравнение  запишется в виде

         Результаты расчетов x_A и x_A+B приведены в табл.6.   Поскольку наблюдается значительное расхождение по важнейшему параметру x_A, определяющему число позиций номенклатуры группы А, то можно констатировать, что рассмотренные аналитические способы существенно различаются. Если за эталон сравнения принять классические  соотношения y_A=80% и y_A+B=95%, то оценки, полученные на основе метода Лагранжа («касательная») оказываются ближе к эталонным, чем оценки, полученные с использованием аналитического способа «многоугольник».

Таблица 6.

Сравнение аналитических способов определения групп АВС

/По книге «Модели м методы теории Логистики», Лукинский В.С. и др./